2004年07月27日

ポアソン方程式

じゃ、まあ、面倒だけれどポアソン方程式から表面ポテンシャルをもとめる話をしよう。

まずは強反転のバンド図をモデルにして説明する。以下の図を見てもらおう。

ポアソン方程式

図に新しくφ(x)ってのがあるが、これは表面ポテンシャルをxの関数としてみたものである。そんでもって、この表面ポテンシャルをもとめたいわけだ。

これをもとめるためにはポアソン方程式を使う。図の下にあるのが一般的なポアソン方程式で、3次元の関数である。左辺はポテンシャルの微分で右辺は電荷密度ってことになる。これ、よく見ると(よく見なくてもだが)何か思い当たることがある。そう、これはガウスの定理なんだよね。

なんでガウスの定理を使うのかがイメージできない人は、ファインマンの講義教科書の第3巻電磁気でも見るとよくわかる。まあ別にファインマンの教科書じゃなくてもいいのだが、昔読んで結構分かりやすかったので。

これを今回の、強反転のバンド図の場合に当てはめて、xのみの1次元で考えると右上の式になる。ここでは真空の誘電率とSiの比誘電率を使ってSiの誘電率を書き換えてある。

このとき電荷密度ρはその下の式になる。実際にはp型半導体のモデルなので、不純物濃度のNdは無視できて、Naが支配的になる。その他多数キャリアのp、少数キャリアのnは以前キャリア密度拡散電位障壁越えなどで出てきたキャリア密度の式をポテンシャルで書き換えて、φ(x)の関数になっている。めんどくさいので載せないが、知りたい人は教科書または適当にWeb検索でもして見つけて頂戴。

そして、この1次のポアソン方程式を境界条件の下に解いていく。境界条件は示してあるぐらいだったと思うが、結構適当。いまさら解く気も起こらないので、このぐらいの条件で解くと結果がでるだろうってことにしておく。初学者やまじめに勉強している人は、教科書などを参考に一度はちゃんと解いておくと良いと思う。

それぞれの境界条件の意味は、じっと見れば(じっと見なくても)分かると思うので説明はしない。

最終的に解いた式はφ(x)=A(1-x/xd)2てな形になり、この式にx=0を入れると強反転のときの表面ポテンシャルがでてくるわけだ。これが一番最後の式で、上に書いたAっていう定数がφsになってくるわけね。ちなみに強反転だからここでxdってなっているのはXdmaxのこと。

今回はここまで。次回は今回得られた表面ポテンシャルの値で少し簡単にお遊び。
posted by ピッコロ大魔王 at 10:04| Comment(0) | TrackBack(0) | 物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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